ガロア理論を使って方程式を解いた事ありますか？

【目次】

最初の【例題1】は３次方程式を解く問題です。この中には、 ガロア理論を使って方程式を解く計算技術、全てが凝縮されている 極めて重要な練習問題です。
特に【例題１】の前半の計算は、(RT1,RT2,RT3)の３種類の計算方式を説明しています。 又、後半の計算は、RT4で説明しています。

　　EX1-RT1:　初等代数的だが重要な計算方式。群論以外は高校３年卒レベル。
　　EX1-RT2:　高校時代の因数定理の重要さを強烈に気付かされる方式。
　　EX1-RT3:　代数体上での多項式の因数分解と言う恐ろしい計算方式を使う。
　　EX1-RT4:　ガロア理論の中の冪根拡大の計算をする後半の核心部分。

【例題２】～【例題４】の前半の計算は、上記EX1-RT3の計算方式で説明しています。
各例題の計算の過程は、"maxima"というフリーの数式処理ソフトを 使って、参考までに何の工夫もしていないプログラムで記述しておりますが、 多分ご自身でプログラムを記述したほうが身につくと思います。

➀ 全体目次：EX**, APX**をクリックでページ移動
➁ 【例題】の中の詳細目次：EX**をクリックでページ移動
➂ ⇦ Home ⇨ をクリックで、前頁、Home頁、次頁に移動
➃ 「次ページへ」をクリックで、次頁に移動

➁は各例題の計算過程の全体図です。「現在のページが全体の計算過程のどこに 位置しているのか？」参考にして下さい。

< ガロア理論を使った方程式解法の計算イメージ >

代数方程式 \(f(x)=0\) を代数的に解くという事は、

　　　「\(f(x)\) の係数から出発して加減乗除と冪根によって
　　　（但し、1のn乗根は既知として）根が得られることをいう」

という謳い文句は広く知られております。この謳い文句はどの様な事を言っているのか？

細かい説明は一切抜きにして、イメージだけをお伝えしたいと思います。
左図は、上記　lemniscus氏の「再帰の反復blog」の説明を、【例題4】の4次方程式の 根を求める場合にあてはめた図です。

黄色い部分の上段には、 体の拡大系列 \([F_0 \rightarrow F_1 \rightarrow F_2 \rightarrow F_3 \rightarrow F_4]\) が 示され、下段には、それに対応するガロア群の縮小系列 \([S_4 \rightarrow A_4 \rightarrow V_4 \rightarrow N \rightarrow e]\) に相当する 部分が記されております。この黄色い部分が「ガロアの基本定理」に相当する部分です。

しかし、黄色の部分を眺めているだけでは、なにも計算できなく、体の拡張の概念図にしかすぎません。 実際に \(f(x)\) の根を計算する場合は、黄色の体の拡大の系列を一段づつ 取り崩し、緑の部分の「巡回群による冪根拡大」に置き換えてゆく必要があります。

この緑の部分での冪根計算で、中心的役割を担っているのが、「1の原始n乗根を使って冪根を計算して 体を拡大する」という部分なのです。

従って、緑の部分を計算する前に、予め必要となる1の原始n乗根を計算しておく必要があります。 その部分が水色の部分です。
結論として、ガロア理論で方程式の代数的解法という事は、

　　　黄色い部分の「体の拡張、群の縮小」系列を分解して、
　　　全てを緑の「冪根拡大」の系列にして計算する事である。
　　　（但し、水色の部分も必要なんですよ）

という事だと思っております。
従って、本サイトは、この緑部分の計算過程を中心に記述したものです。